next up previous contents index
Next: Paritas Up: Dinamika Satu-Dimensi Previous: Dinamika Satu-Dimensi   Contents   Index

Potensial Tangga

Dalam mekanika klasik dipahami bahwa gerak satu dimensi (1D) adalah gerak pada garis lurus. Dalam mekanika kuantum, gerak satu dimensi berarti bahwa peubah bebas persamaan Scrödingernya hanya satu.

Bab ini merupakan langkah pendahuluan bagi peninjauan teori kuantum untuk osilator harmonik dan atom hidrogen. Pertama, akan dibadingkan antara prediksi klasik dan kuantum untuk beberapa sistem 1D sederhana.

\epsfig{file=GMB/step.eps,height=5.5cm,width=6.5cm,angle=0}
Gambar 4.1: Energi potensial tangga. Garis putus-putus menunjukkan keadaan real, sedangkan garis tebal menunjukkan keadaan ideal dimana perhitungan lebih mudah dilakukan.

Sistem paling sederhana adalah gerak sebuah partikel (ditunjukkan oleh garis putus-putus) dalam potensial seperti dalam Gambar 4.1. Oleh karena adalah


ini melukiskan sebuah partikel yang bergerak secara bebas kecuali pada daerah sekitar pusat, akibat pengaruh oleh gaya yang menuju ke kiri. Apabila partikel memiliki energi total $E_0$, dan energi kinetik $T$, maka

\begin{displaymath}
E_0 = T(x) + V(x).
\end{displaymath}

Terdapat dua kasus untuk ditinjau, keduanya akan diulas secara klasik lebih dahulu.

  1. Keadaan $E_0 > V$ (Klasik)
    Partikel-partikel yang datang dari arah kiri mendekati potensial penghalang dengan energi kinetik dan momentum , dinyatakan dalam hubungan

    \begin{displaymath}
T_0 = E_0 =\frac{p_0^2}{2m}
\end{displaymath}

    Pada saat partikel melintasi daerah potensial penghalang, ia dilambatkan oleh gaya tersebut, dan energi kinetik diubah menjadi energi potensial. Partikel memiliki cukup energi untuk menembus penghalang dan terjadi transmisi total. Partikel-partikel muncul di sebelah kanan memilki energi $T_1$ dan momentum ,
    (122)

  2. $E_0 < V$ (Klasik)
    Partikel-partikel yang datang dari arah kiri dihentikan oleh potensial penghalang pada titik $x'$, dimana
    \begin{displaymath}
V(x')=E_0,~~~~~ [T(x')=0]
\end{displaymath} (123)

    Arah gerakan partikel dibalikkan oleh gaya tersebut. Dalam hal ini terjadi refleksi total dari berkas partikel.

    Sifat kualitatif dari gerak klasik tidak berubah jika potensial penghalang digantikan oleh potensial tangga, sebagaimana ditunjukkan oleh garis padat dalam Gambar 4.1. Sistem sederhana ini akan didiskusikan secara kuantum.

Dinamika kuantum dinyatakan oleh persamaan eigenvalue

\begin{displaymath}
\left(\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x) \right)u_E = E_0u_E
\end{displaymath} (124)

dimana
$\displaystyle V(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0, x < 0$  
$\displaystyle V(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle V, x > 0.$ (125)

Dalam sajian Schrodinger persamaan tersebut dituliskan
\begin{displaymath}
\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right)u_E(x)=E_0u_E(x)
\end{displaymath} (126)

Secara umum syarat batas mengharuskan $u_E(x)$ berhingga di semua tempat. Juga harus ditinjau keadaan tak kontinu pada $x = 0$. Oleh karena perubahan mendadak dari $V(x)$ berhingga, dan $u(0)$ berhingga, persamaan 4.5 menjamin bahwa $u''(0)$ berhingga. Hal ini menyatakan bahwa baik maupun $u'(x)$ kontinu pada $x = 0$. Sekarang terdapat dua kasus berbeda


next up previous contents index
Next: Paritas Up: Dinamika Satu-Dimensi Previous: Dinamika Satu-Dimensi   Contents   Index
Tasrief Surungan 2010-03-12