ALAT-ALAT MATEMATIK
Teori
Kendali berkembang sejak Perang Dunia II, baik di negara-negara blok Barat,
yang dipimpin oleh para pakar sistem kendali dari Amerika Serikat, mau pun blok
Timur, dipimpin oleh para pakar dari Uni Sovyet. Para pakar dari Amerika Serikat
sejak seusai Perang Dunia II membangun “teori-teori klasik” mekanisme
servo (servomechanism) dipimpin oleh para ilmuwan dari Laboratorium
Radiasi Massachusetts Institute of Technology (MIT), antara lain H.M.
James, N.B. Nichols dan R.S. Phillips yang menulis
berjilid-jilid laporan penelitian tentang sistem servo, yang membangun prinsip
dasar sistem kendali. Teori-teori klasik mengenai sistem kendali adalah
teori-teori kendali yang berbasis transformasi. Di Uni Sovyet (yang berhasil
mendahului Amerika Serikat meluncurkan pesawat ruang angkasa berawak –
kosmonaut Yuri Gagarin yang terkenal waktu itu), para pakar sistem
kendali lebih menyukai teori-teori kendali yang berbasis persamaan
differensial, yang kemudian dikenal sebagai “teori-teori modern” sejak
konggres pertama the International Federation of Automatic Control (IFAC)
di Moskow tahun 1960. Sedangkan di Amerika Serikat, teori-teori kendali modern
baru dikembangkan menjelang tahun 1960 oleh sekelompok ilmuwan di bawah
pimpinan Professor Solomon Lefschetz di Research Institute of
Advanced Studies (RIAS), Baltimore, MD, dan sekelompok lainnya di
bawah pimpinan Professor J. R. Ragazzini di Columbia University, NY[1].
Dalam matakuliah Dasar Sistem Kendali hanya akan dibahas teori-teori
kendali klasik. Teori-teori kendali modern akan dibahas dalam
matakuliah-matakuliah tingkat lanjutan.
Dunia
teknik adalah dunia peralatan (equipment) dan perkakas (tools),
baik dalam bentuk hardware (perangkat keras) mau pun software
(perangkat lunak). Peralatan dan perkakas tidak hanya diperlukan dalam praktek,
tapi juga dalam mempelajari teori. Alat-alat yang digunakan dalam mempelajari
teori-teoti keteknikan biasanya berupa alat-alat matematik. Tidak
terkecuali untuk mempelajari teori-teori kendali seperti dalam matakuliah Dasar
Sistem Kendali ini, diperlukan setidaknya 2 (dua) alat matematik, yaitu:
·
Bagan Kotak (Block Diagram) dan Aljabar Bagan Kotak
(Block Diagram Algebra) [2]
·
Jelmaan
(Transformasi) Laplace (Laplace
Transform) dan Pemodelan Nisbah Alih (Transfer Function
Modelling) [3]
Bagan
Kotak (Block Diagram)
………………….dan
Aljabar Bagan Kotak (Block Diagram Algebra)
Belajar
di Program Studi Teknik Elektro tidak lepas dari menggambar bagan atau diagram.
Rangkaian Listrik, matakuliah dasar Teknik Elektro, mulai dengan gambar
rangkaian, komponen-komponen seperti sumber tegangan, tahanan, induktor dan
kapasitor dihubungkan satu sama lain dalam rangkaian, yang merupakan bagan.
Cara menggambar rangkaian listrik tidaklah sembarang, melainkan terikat oleh
suatu perjanjian (konvensi) yang berlaku internasional sehingga dapat difahami
oleh siapa pun yang mempelajari bidang studi Teknik Elektro. Belajar
mem-program komputer mulai dengan menggambar bagan alir (flow-chart).
Sistem tenaga listrik digambarkan dalam bagan satu garis (one-line diagram),
orang juga mengenal diagram Bode untuk menggambarkan tanggapan frekuensi. Masih banyak lagi, diagram, bagan, chart,
dan gambar-gambar lain yang digunakan dalam bidang studi Teknik Elektro.
Dalam
bidang Teknik Kendali, Bagan Kotak (Block Diagram) merupakan salah satu
“alat matematik” yang umum digunakan untuk menggambarkan model sistem kendali. Alternatif
lain yang setara dengan Bagan Kotak - tapi kurang populer digunakan - adalah
Bagan Aliran Isyarat (Signal Flow Graph). Ada beberapa konvensi
(kesepakatan) khusus yang terkait dengan cara menggambarkan model sistem
kendali menggunakan Bagan Kotak. Selanjutnya berdasarkan konvensi khusus itu
disepakati pula berbagai cara menghitung yang disebut Aljabar Bagan Kotak (Block
Diagram Algebra).
Penggambaran
Isyarat (Signal) dalam Bagan Kotak.
Isyarat
dalam Bagan Kotak digambarkan dengan anak-panah yang menunjukkan dengan
jelas di mana “sumber” dari isyarat itu (pangkal anak-panah) dan ke mana
isyarat itu menuju (ujung anak-panah). Ada 2 (dua) macam anak-panah,
masing-masing:
Gambar 13
Menggambarkan isyarat (signal) dengan
anak-panah
Untuk
menamai isyarat biasanya anak-panah diberi notasi khusus yang dituliskan di
dekat ujung anak-panah tersebut, misalnya seperti yang dicontohkan pada Tabel
1. Notasi-notasi ini menandai bahwa suatu “isyarat” umumnya mengandung
“perubahan”, oleh karena itu ada suatu peubah bebas (independent
variable) yang menjadi basis dari perubahan tersebut, misalnya waktu t,
peubah Laplace s, urutan (sequence) k, frekuensi sudut w, dan lain-lain.
Tabel
1. Contoh-contoh notasi isyarat
|
Notasi |
Dibaca: |
|
x(t) |
Isyarat
x yang berubah dengan (sebagai fungsi dari) waktu t |
|
Y(s) |
|
|
u(k) |
Isyarat
u yang berubah dengan (sebagai fungsi dari) urutan (sequence) k
|
|
Vi(jw) |
Isyarat
Vi yang berubah dengan (sebagai fungsi dari) peubah
kompleks jw |
Selain
notasi-notasi khusus yang dicontohkan di atas, isyarat bisa juga diberi nama
yang sesuai, misalnya: “isyarat masukan” (input signal), “isyarat
luaran” (output signal), “tegangan luaran”, “kecepatan sudut”, dan
seterusnya.
Dalam
Bagan Kotak, isyarat bisa bercabang (branching):
Gambar 14
Contoh-contoh percabangan isyarat (branching)
Ketika isyarat bercabang, maka cabang-cabang isyarat itu tetap
sama seperti semula. Ingat: Ini berbeda dengan
percabangan arus pada Rangkaian Listrik!
Isyarat-isyarat
yang bertemu dalam bagan Kotak, digambarkan pada suatu pertemuan yang disebut junction,
seperti pada Gambar 15.
Ketika isyarat-isyarat bertemu, maka isyarat-isyarat itu bisa
saling menjumlah atau saling mengurangi satu sama lain. Ingat:
Walau pun bagan ini disebut Bagan Kotak, tapi pertemuan isyarat digambarkan
dengan lingkaran!
Penggambaran
Sistem dalam Bagan Kotak
Sistem
dalam Bagan Kotak digambarkan dengan bentuk kotak (block). Bentuk kotak
ini sama sekali tidak menggambarkan bentuk fisik dari sistem yang
di-representasi-kannya. Sistem aslinya bisa saja berbentuk bulat, silinder,
atau bahkan merupakan sistem abstrak yang tidak berbentuk, tapi dalam Bagan
Kotak tetap di-representasi-kan dengan kotak, bisa berbentuk bujur-sangkar (square)
atau empat persegi-panjang (rectangle). Sisi-sisi kotak menggambarkan
“batas-batas” antara bagian dalam (internal) dengan bagian luar (external)
sistem tersebut. Bagian luar sistem yang dekat dengan sistem disebut
“lingkungan sistem” (system environment). Segala sesuatu yang berasal
dari lingkungan sistem atau dari sistem lainnya dan mempengaruhi keadaan dalam
sistem, disebut masukan (input), yang jika kebetulan merupakan
isyarat, disebut sebagai isyarat masukan (input signal).
Sebaliknya, segala sesuatu yang berasal dari dalam sistem dan mempengaruhi
lingkungan sistem atau sistem lainnya, disebut luaran, yang jika berupa
isyarat disebut isyarat luaran (output signal). Suatu sistem
sering di-definisi-kan dengan hubungan antara isyarat masukan dan isyarat
keluaran, hubungan yang disebut “model masukan-luaran” (input-output model).
Isyarat masukan yang tidak dikehendaki disebut “gangguan” (disturbance)
sedangkan isyarat luaran yang tidak dikehendaki – dan bersifat acak atau random
– disebut “derau” (noise).
Setiap
kotak yang me-representasi-kan suatu sistem diberi label (bisa di
dalamnya atau di dekatnya) yang menyatakan sistem apa kotak tersebut. Label
sistem dapat berupa, misalnya (untuk menyebut beberapa contoh):
·
Susunan Kalimat dan
kata-kata
·
Susunan huruf-huruf dan
angka
·
Operasi Matematis
·
Simbol-simbol khusus
·
Watak-Alih (Transfer
Characteristics) sistem
·
Nisbah-Alih (Transfer
Function) sistem
·
Dan lain sebagainya
(Catatan:
contoh-contoh di atas akan dibahas secara terperinci di kelas).
Aljabar
Bagan Kotak (Block Diagram Algebra).
Dalam
representasi Bagan Kotak, berlaku hubungan-hubungan matematis tertentu yang
disebut Aljabar Bagan Kotak (Block Diagram Algebra). Dasar-dasar
hubungan ini dapat diuraikan sebagai berikut:
1.
Hubungan SERIAL. Jika 2 (dua) sistem penguat (amplifier),
masing-masing mempunyai penguatan atau bati (gain) K1 dan K2
terhubung secara serial, maka kedua penguat tersebut dapat digantikan oleh atau
setara dengan 1 (satu) penguat dengan penguatan K= K1 K2 [lihat Gambar 16(a)].
2.
Hubungan PARALEL. Jika 2 (dua) sistem penguat (amplifier),
masing-masing mempunyai penguatan atau bati (gain) K1 dan K2
terhubung secara paralel, maka kedua penguat tersebut dapat digantikan oleh
atau setara dengan 1 (satu) penguat dengan penguatan K= K1 + K2 [lihat Gambar 16(b)].
Catatan: Hubungan Paralel juga dapat digambarkan
sebagai hubungan UMPAN MAJU (Feed Forward) sebagai pada Gambar
16(c).
3.
Hubungan UMPAN-BALIK
(Feedback). Jika 2 (dua) sistem penguat (amplifier),
masing-masing mempunyai penguatan atau bati (gain) K1 dan K2
terhubung sedemikian rupa sehingga penguat K1
berada pada arah maju (forward) sedangkan penguat K2 pada arah balikan (back), maka kedua penguat
tersebut dapat digantikan oleh atau setara dengan 1 (satu) penguat dengan
penguatan K= K1 /(1 + K1 K2)
[lihat Gambar 16(d)].
Contoh-contoh aplikasi Aljabar Bagan Kotak akan
dibahas di kelas, yaitu terdiri dari:
1.
Contoh sistem “matematis”
yang terdiri dari beberapa penguat (amplifier) dan redaman (attenuator)
terangkai dalam hubungan serial, paralel, umpan-maju dan umpan-balik.
2.
Contoh representasi
Bagan Kotak dari sistem mekanik pegas-massa (spring-mass system).
3.
Contoh representasi
Bagan Kotak dari sistem elektrik resistor-induktor (resistor-inductor system).